TUhjnbcbe - 2024/5/15 16:38:00
三角形三边关系定理三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这个定理很简单，常常应用于求线段和差的最值问题。一般来说，都归纳为两种思路：（1）、求两条线段之和最小值，用两边之和大于第三边来解决。（2）、求两条线段之差最大值，用两边之差小于第三边来解决。上面两种思路最后都是利用三角形的三个顶点“共线”来求得答案，而且答案就是等于第三边，模型图如下。实际应用中，要注意三点共线时，P点的位置特点。求两边之和的最小值，第三边应该是比较长的边，点P在第三边的线段上（P在AC线段上）。两边之差求最大值，第三边应该是一个比较小的边，P点在第三边的延长线上（P在AB线段的延长线上）。当三角形的边不符合上面的规则时，通常需要做一定的等价转换。中考真题（陕西中考填空压轴题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6，P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为__________。求两边之差的最大值，马上想到利用三角形的两边之差小于第三边这个定理，想办法找到两边的差值等于第三边（三点共线时），那么就得到最大值了。但是上面的题，如果一直纠结于△NPM中，求PM-PN的最大值，那就会走进死胡同，因为P在移动过程中，PM-PN始终是小于MP的。NPM三点共线时其实是PM+PN的最小值。这就是上面提到的求差值的两边之外的第三边，在三角形里应该是比较小的边，不能是最大边，显然△NPM里第三边NM不是小边。因此这里需要转换，找到一个合适的三角形，使得第三边是较小边。所以，△PME才是我们要利用的三角形，最后符合条件的P在ME线段的延长线上。在△PME中，ME在P点的整个移动过程中，不可能成为最长边，即属于我们的短边。无论是求和的最大值还是求差的最大值，这类题型还有个特点，就是最值实际上就等于第三边，对应到图形上，这个第三边在动点移动过程中，始终不变。因此，问题的关键就是寻找合适的三角形来利用三边之差的定理。思路拓展如果上题告诉E点是OC的中点，求PM+PE的最大值，那么就要作辅助线N点（将军饮马思路），去寻找较长边。总结口诀：三角两边求最值，三点共线正合适，求和要找较长边，求差要找较短边