模型十三倍长中线
[结论]如图、AD是△ABC的中线，延长AD至点A,使得DA=AD，连接CA，则AB=AC,AB∥AC
证明：在△ABD和△ACD中，
DB=CD
∠BDA=∠CDA
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴AB=AC,∠ABD=∠ACD
∴AB∥AC
拓展中线题作辅助线
△ABC中,AD是BC边上的中线。
延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.
作CF⊥AD于点F,作BE⊥AD交AD的延长线于点E.
点M（不与A,B重合）是AB上一点,连接MD并延长至点N,使DN=MD,连接CN.
模型十四平行线中点（沙漏模型）
[结论]如图所示,AB∥DE,C是BD的中点,延长AC交DE于点E,则△ABC≌△EDC.
证明：∵AB∥DE
∴∠1=∠2
在△ABC与△EDC中，
∠1=∠2
BC=DC
∠3=∠4
∴△ABC≌△EDC(ASA)
口诀：有中点、有平行,轻轻延长就能行！
型十五雨伞模型（风筝模型）
[结论]如图,AP是∠BAC的平分线,BO⊥AP,垂足为O,延长BO交AC于点D,则△ABO≌△ADO
证明:在△ABO与△ADO中
∠1=∠2
AO=AO
∠AOB=∠AOD
∴△ABO≌△ADO(ASA)
口诀：角平分线+垂线，轻轻延长等腰现
辅助线典例
如图,△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠ACB的角平分线CD交AB于点E,∠BDC=90°.求证：CE=2BD
如图,△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D
求证：∠2=∠1+∠C
模型十六半角模型
[结论]（正方形中的半角模型）如图,在正方形ABCD中,∠MAN=45°,则
(1)MN=AM+DN
(2)△MCN的周长等于正方形ABCD边长的2倍
(3)MA是∠BMN的角平分线,NA是∠DNM的平分线
证明：（1）延长ND至点E,使DE=BM
连接AE
在△ABM与△ADE中,
AB=AD
∠ABM=∠ADE∴△ABM≌ADE(SAS)
BM=DM
∴∠BAM=∠DAE
∵∠MAN=45°
∴∠BAM+∠NAD=45°
即：∠DAE+∠NAD=45°
即：∠NAE=45°
在△AMN与△AEN中，
AM=AE
∠MAN=∠EAN∴△AMN≌△AEN(SAS)
AN=AN
(1)∴MN=EN=DE+DN=BM+DN
(2)C△MCN=MN+MC+CN=BM+DN+MC+CN
=BC+CD=2BC
有全等得：∠1=∠E=∠2，∠3=∠4
(3)∴MA平分∠BMNNA平分∠MND
辅助线典例其他图形中的半角模型
如图，△ABC是边长为a的等边三角形,△BCD是等腰三角形,且∠BDC=12°,以D为顶点作一个60°的角,使其两边分别交AB于点M，交，AC于点N,连接MN,则
(1)MN=BM+CN
(2)△MAN的周长等于△ABC边长的2倍
(3)MD是∠BMN的平分线,ND是∠CNM的平分线
如图，在四边形ABCD中,∠B+∠D=°,∠BAD=2∠EAF,AB=AD,则
(1)EF=BE+FD
(2)EA是∠BEF的平分线,FA是∠DFE的平分线
半角模型技巧：
1.找顶点（某角为大角的一般共顶点）
2.作辅助线（延长使=半角另一侧，三角形顶角的对边）
3.证小△全等
4.证大△全等
5.找全等△关系
模型十七胖瘦模型
[模型]如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点P在线段BC上且P不是BC的中点
[变胖]如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,△ABQ≌△ACP（SAS),AP=AQ
证明：∵AB=AC∴∠B=∠C
∵CQ=BP∴BP+PQ=CQ+PQ
在△ABQ与△ACP中,
AB=AC
∠B=∠C
BQ=CP
∴△ABQ≌△ACP(SAS)
∴AP=AQ
[变瘦]如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,△ABQ≌△ACP（SAS),AP=AQ
证明：∵AB=AC∴∠B=∠C
∵CQ=BP∴BP+PQ=CQ+PQ
在△ABQ与△ACP中,
AB=AC
∠B=∠C
BP=CQ
∴△ABP≌△ACQ(SAS)
∴AP=AQ
型十八将军饮马6种题型（求最短路线问题）
[题型1]如图,定点A,B分布在定直线l的两侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB的值最小
[题型2]如图,定点A,B分布在定直线l的同侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB的值最小
S[题型3]如图,点P为角内一点.在射线l1,l2上分别找点M,N.使得△PMN的周长最小
[题型4]如图,P、Q为角内的两个定点.在射线l1,l2上分别找点M,N.使得四边形PQMN的周长最小.
[题型5]如图,直线m∥n,A,B分别为m上方和n下方的定点。（直线AB不与m垂直）,在m，n上分别求点M,N.使得MN⊥m,且AM+MN+BN的值最小.
[题型6]如图,定点A,B分布在直线L的同侧.长度为a（a为定值）的线段MN在L上移动（点M在点N的左边）,在直线L上求亮点M、N.使得MA=a.且AM+MN+NB的值最小.