欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，我们在很多数学中高难度题中都能找例如：“一线三垂直”、“双垂模型”、“共角模型”、“将军饮马问题”等等数学典型模型的运用，其实，初中数学中高难度题，考查的是学生对数学知识的理解运用能力、对数学思想的理解运用能力，运用来运用去，必定要形成一些具有共性、且又典型的用法，通俗地讲，这就是数学典型模型，它是绝大部分中高难度题在题目设置时所依存的图形背景，如果我们能在审题时，抓住、审透这些典型模型，一定会给我们解决中高难度题型带来极大的便利，今天继续来说一说中考题的分析解决，并结合一道有关相似综合例题，详细阐述理解、掌握好一些常见的数学模型，对我们解题的便利。
例.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点.
(1)图1，连接BD、O是对角线BD的中点，连接OE，当OE=DE时，求AE的长；
(2)如图2，连接BE、EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G，当BE平分∠ABC时，求BG的长；
(3)如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D`处，过点D`作D`N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1，连接BE，问△D`MH与△CBE是否相似？请说明理由。
（1）连接对角线，是矩形常见的添辅助线方法，连接OA，利用相似的“共角模型”，可证△DEO∽△DOA，可得DE的长，进而可求解AE的长；
（2）由数学典型模型“角平分线+平行线=等腰△”可得△ABE是等腰三角形，由数学典型模型“一线三垂直模型”可得△AEF≌△DCE，可得出AE、DE、AF、BF的长，作GP⊥BC于P，由相似的“A字模型”可得△CPG∽△CBF，因BP=PG，可得出GP的长，由勾股定理即可求出BG的长；
（3）由数学典型模型“角平分线+平行线=等腰△”可得△D`MH是等腰三角形，若△D`MH与△CBE相似，则△CBE也应是等腰三角形，连接BE，由CD=3，DE=4，可得EC=5=BC，即可得出△CBE是等腰三角形。由于两个三角形均是等腰三角形，即便题中相似是用中文字来描述，也不作分类讨论的思考，只需证明两顶角∠MD`N=∠ECB即可，由∠4+∠5=90°，∠5+∠6=90°可得∠4=∠6，再利用平行线性质即可得∠4=∠7，则两个三角形相似。
(1)连接OA，如图4，∵AB=3，BC=5，∴BD=√34，OD=√34/2，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∵OE=DE，∴∠EOD=∠EDO，∴∠EOD=∠DAO，∵∠ADO=∠ADO，∴△DEO∽△DOA，∴DE：DO=DO：DA，即DE：（√34）/2=（√34）/2：5，∴DE=1.7，∴AE=5-1.7=3.3.
(2)如图5，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AE=AB=CE=3，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵∠A=∠D=90°，AE=CD，∴△AEF≌△DCE，∴DE=AF=2，∴BF=1，作GP⊥BC于点P，∵∠EBP=45°，∴△BPG是等腰直角三角形，∴BP=PG，∵GP//BF，∴PC：BC=GP：BF，即（5-BP）：5=BP：1，∴BP=PG=5/6，由勾股定理可得BG=（5√2）/6.
(3)△D`MH与△CBE相似，理由是：如图6，∵D`N⊥DE，∴D`N//DC，∴∠EMN=∠DHE，∵∠EMN=∠D`MH，∠DHE=∠EHD`，∴∠D`MH=∠MHD`，∴△D`MH是等腰三角形，∵AE=1，∴DE=4，由勾股定理可得EC=5，∴BC=EC，连接BE，则△CBE是等腰三角形，∵∠ED`H=∠D=90°，∴∠4+∠5=90°，∵∠END`=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠4=∠6，∵AD//BC，∴∠6=∠7，∴∠4=∠7，∵△D`MH、△CBE是等腰三角形，∴△D`MH∽△CBE。
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