最值问题，一直都是中考数学的热点题型。无论是几何最值还是函数最值，全国各地的考题均有涉猎。而部分省市区更是频繁到年年考，年年让一批考生痛哭流泪！
正所谓“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同！”最值问题也是变着花样出题，今年与二次函数结合，明年又与一次函数结合。本来以为会出面积的最值问题，哪里知道考试时却是线段的最值问题。所以，不少考生非常头疼，最值问题最是崩溃！
其实，学习最值问题时，一定要先弄懂最值问题的基本原理。千变万化的题目一直都离不开三个基本原理。
原理一、两点之间线段最短！
原理二、垂线段最短！
原理三、函数在取值范围中的最大最小值！
下面，以一道几何题目分析这几个原理！
例、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．
问题思考：
如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．
（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．
问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．
（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．
分析
（1）设AP=x，则PB=8﹣x，根据正方形的面积公式得到这两个正方形面积之和=x+（8﹣x），配方得到2（x﹣4）+32，然后根据二次函数的最值问题求解．
（2）根据PE∥BF求得PK=a(8-a)/8，进而求得DK=PD﹣PK=a﹣a(8-a)/8=a/8，然后根据面积公式即可求得．
（3）本问涉及点的运动轨迹．PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示；
（4）本问涉及点的运动轨迹．GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，如答图4﹣1所示；然后利用轴对称的性质，求出OM+OB的最小值，如答图4﹣2所示．
参考答案
考点总结
勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题，平行线分线段成比例，几何图形的动态问题，二次函数的实际应用-几何问题。
纵观整道题目，第（1）问运用了函数的最值问题：即用二次函数表示这连个面积的和，然后配方成顶点式，即可在取值范围中求出最值！而第（4）问运用了两点之间线段最短这一知识点，配以“将军饮马”模型，轻松解答！