方法指引:
将军饮马问题是利用轴对称来处理最短距离问题,在此轴对称是工具,最短距离是题中的题眼,通过轴对称“化折为直”,再利用“两点之间线段最短”来达到问题的解决,在考试中“将军饮马”模型和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考查,有一点的难度.
知识导图:
------两定点一定线
问题:在直线l上找一动点P,使得PA+PB之和最短
作法:作A关于l的对称点A′,连接BA'P'',与直线l交于P,则此时点P为所求点.如下图
结论:两点之间线段最短.PA+PB=PA′+PB=A′B的长.
------一定点两定线
问题:在直线L1、L2上分别求点M,N,使△PMN的周长最小.
作法:分别作点P关于两直线的对称点P'和P'',连接P'P'',与两直线交点即为M,N.如下图
结论:两点之间线段最短.PM+MN+PN的最小值为线段P'P''的长.
1.画图建模,画出取最小值时动点的位置,建立相关模型;
2.学会转化,利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上.
典型例题
类型一:典型性将军饮马问题---------两定一动型
如图,在平面直角坐标系中,直线AB交x轴于点A(8,0),交y轴于点B,且与直线OC相交于点C(6,3),动点P在y轴上运动.
(1)求直线AB的函数解析式;
(2)求使△ACP的周长最小时点P的坐标;
(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+b,将A(8,0),c(6,3)代入连立方程组求解即可;
(2)作点A(8,0)关于y轴的对称点A′(-8,0),连接CA′交y轴于点P,此时PA+PC最小,即△ACP的周长最小,设直线CA′的函数解析式为y=mx+n,代入C点坐标求得函数关系式,令x=0,即可得到P点坐标.
(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+b,
代入A(8,0),C(6,3)在直线AB上,
∴直线AB的函数解析式为y=-3x/2+12.
(2)如图,作点A(8,0)关于y轴的对称点A′,∴A′(-8,0)
连接CA′交y轴于点P,此时PA+PC最小,即△ACP的周长最小;
设直线CA′的函数解析式为y=mx+n,代入A′(-8,0),C(6,3),
类型二:非典型性将军饮马问题---------一定两动型
如图,已知点C(1,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是线段AB,OA上的动点,则△CDE的周长的最小值是()
点C关于OA的对称点C′(-1,0),点C关于直线AB的对称点C″(7,6),连接C′C″与AO交于点E,与AB交于点D,此时△DEC周长最小,可以证明这个最小值就是线段C′C″.
如图,点C(1,0)关于y轴的对称点C′(-1,0),点C关于直线AB的对称点C″,
∵直线AB的解析式为y=-x+7,∴直线CC″的解析式为y=x-1,
∵直线AB的解析式为y=-X+7,
∴直线CC″的解析式为y=x-1,
∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K(4,3),
设C″坐标为(m,n),∵K是CC″中点,C(1,0),
∴C″(7,6).连接C′C″与AO交于点E,与AB交于点D,此时△DEC周长最小,
故答案为:10.
强化练习
一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4),点C,D分别是OA,AB的中点,P是OB上一动点.则△DPC周长的最小值为().
如图,作C点关于y轴的对称点C′,连接DC′交y轴与点P,此时PC+PD的值最小且DC′=PC+PD.
∵C,D分别是OA,AB的中点,A(2,0),B(0,4),
∴C(1,0),D(1,2).
在Rt△DC′C中,由勾股定理可得
又∵D(1,2),∴CD=2.
∴此时△DPC周长为PC+PD+CD=DC′+DC=.故选D.
2.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),点D的坐标为(2,0),E为AB上的点,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为( B ).
A.(1,3) B.(3,1) C.(4,1) D.(3,2)
提示:作D关于直线AB的对称点H,连接CH交AB于E,此时△CDE的周长最小, 利用待定系数法求得直线CH的解析式,代入x=3,即可求得E点坐标.
3.如图,已知菱形OABC的边OA在x轴上,点B的坐标为(8,4),P是对角线OB上的一个动点,点D(0,1)在y轴上,当PC+PD最短时,点P的坐标为________.
解:如图连接AC,AD,分别交OB于G、P,作BK⊥OA于K.
∵四边形OABC是菱形,∴AC⊥OB,GC=AG,OG=BG=2,
设OA=AB=x,在Rt△ABK中,
∴x=5,∴A(5,0),
∵A、C关于直线OB对称,∴PC+PD=PA+PD=DA,∴此时PC+PD最短,
∵直线OB解析式为y=x/2,直线AD解析式为y=-x/5+1,
4.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时,点C的坐标是 (0,3) .
作B点关于y轴对称点B′点,连接AB′,交y轴于点C′,
此时△ABC的周长最小,
∵点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),
∴B′点坐标为:(-3,0),AE=4,则B′E=4,即B′E=AE,
∵C′O∥AE,∴B′O=C′O=3.
∴点C′的坐标是(0,3),此时△ABC的周长最小.故答案为(0,3).
5.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),点B为x轴上一动点,以AB为边在AB的右侧作等腰直角三角形ABD,∠ABD=90°,连接OD,则OD+AD的最小值是__________.
如图,作DH⊥x轴于H.
∵∠AOB=∠ABD=∠BHD=90°,∴∠ABO+∠BAO=90°,∠ABO+∠DBH=90°,∴∠BAO=∠DBH,
∵AB=DB,∴△ABO≌△BDH(AAS),∴OA=BH=3,OB=DH,∴HD=OH-3,
∴点D在直线y=x-3上运动,
作O关于直线y=x-3的对称点E′,连接AE′交直线y=x-3于D′,
连接OD′,则OD′=D′E′.根据“两点之间,线段最短”可知此时OD+AD最小,最小值为AE′,
∵O(0,0),O关于直线y=x-3的对称点为E′,
∴E′(3,-3),∵A(0,3),
6.如图,直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和y=-2x+b,且交点C的横坐标为2,动点P(x,0)在线段OB上移动(0<x<3).
(1)求点C的坐标和b;
(2)若点A(0,1),当x为何值时,AP+CP的值最小;
(3)过点P作直线EF⊥x轴,分别交直线OC、BC于点E、F.若EF=3,求点P的坐标.
(1)∵点C在直线OC:y=x上,且点C的横坐标为2,∴点C(2,2),
∵点C在直线BC:y=-2x+b上,∴-2×2+b=2,∴b=6;
(2)如图1,作点C关于x轴的对称点C′,连接AC′交x轴于点P,此时AP+CP=AP+PC′=AC′最小,
∵C(2,2),∴C′(2,-2),
设直线C′A的函数解析式为y=mx+n,代入C′(2,-2),A(0,1),
(3)①由(1)知,b=6,∴直线BC的解析式为y=-2x+6,∵EF⊥x轴于P,
∴F(x,-2x+6),∵点E在直线OC上,∴E(x,x),
∴EF=
-2x+6-x
=
3x-6
,∵EF=3,∴
3x-6
=3,
∴x=3(舍)或x=1,∴P(1,0).
7.如图:直线y=-x+5分别与x轴、y轴交于A、B两点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)已知点C坐标为(4,0),设点C关于直线AB的对称点为D,请直接写出点D的坐标;
(3)请在直线AB找一点M和y轴上找一点N,使△CMN的周长最短,求出点N的坐标和△CMN的周长.
(1)∵直线y=-x+5分别与x轴、y轴交于A、B两点
令x=0,则y=5;令y=0,则x=5
∴点A坐标为(5,0)、点B坐标为(0,5);
(2)如图:过A作直线l⊥x轴,作CD⊥AB交直线l于D,
∵OA=OB=5,∴∠OAB=45°,
∵CD⊥AB,直线l⊥x轴,∴∠DCA=45°,∠DAB=45°
∴∠CDA=45°,∴AD=AC,
∵AB⊥CD,∴AB垂直平分CD,∴D即是C关于AB的对称点,
∵A(5,0),C(4,0)∴AC=AD=1,
∴点C关于直线AB的对称点D的坐标为(5,1),
(3)作点C关于y轴的对称点C′,则C′的坐标为(-4,0)
连接C′D交AB于点M,交y轴于点N,
∵点C、C′关于y轴对称∴NC=NC′,
∵点C、D关于直线AB对称,∴CM=DM,
此时,△CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NC′=DC′周长最短;
设直线C′D的解析式为y=kx+b
∵点C′的坐标为(-4,0),点D的坐标为(5,1)
8.如图,已知直线y=2x/3交x轴于A,交y轴于B,过B作BC⊥AB,且AB=BC,点C在第四象限,点R(3,0).
(1)求点A,B,C的坐标;