唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。诗中隐含着一个有趣的数学问题。而早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．将军饮马造桥选址费马点两点之间线段最短；垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移.一、两定一动型：问题：在直线l上找一个动点P，使动点P到两定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.二、两动一定型：问题：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC的周长最小.三、两定两动型(造桥选址)：问题：已知，A,B是两个定点，在定直线L上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d(动点M位于动点N左侧)，使AM+NM+NB的值最小.四、垂线段最短型：问题：在∠NOM的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB+BC最短.1.（春东阳市期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝1/3S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为（
）A．5 B．2√13 C．2√2 D．4√2解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB＝1/3S矩形ABCD，∴1/2ABh＝1/3ABAD，∴h＝2/3AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．（动图分析如下）在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2+2＝4，∴由勾股定理可求得BE＝4√2，即PA+PB的最小值为4√2．故选：D．2.（港南区四模）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（
）A．5 B．6 C．8 D．10解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝8．∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8，故选：C．3.（春梁溪区期末）如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝√2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（
）A．2√5 B．3√2 C．9/2 D．22/5解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝√2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，由勾股定理可求得CH＝2√5，∴AE+AF的最小值2√5，故选：A．4.（秋沙坪坝区校级月考）如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．（1）若CD＝6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；（2）若CD＝13/2，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．解：（1）如图1中，连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于N，交EF于M，连接AM，BM．设DM＝x．（2）如图2中，如图，作点A故直线GH的对称点A′，点B关于直线EF的对称点B′，连接A′B′交GH于点P，交EF于点Q，作B′H⊥CA交CA的延长线于H．则此时AP+PQ+QB的值最小．根据对称的性质可知：PA＝PA′，QB＝QB′，∴PA+PQ+QB＝PA′+PQ+QB′＝A′B′，∴PA+PQ+PB的最小值为线段A′B′的长，在数学问题中，“将军饮马”问题派生出来的最短路径问题屡见不鲜，它广泛出现于正方形、菱形、圆等轴对称图形中，因为其问题的解决是通过轴对称变换将其化折为直，化两折为直，化多折为直，最终转化为点到点及点到直线的最短距离问题．“将军饮马”问题能很完美的体现转化思想，是数学问题中的明星产品，所以解决此类问题也是同学们必备的技能．我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点．1．必然是作定点关于定线的对称点！2．作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点．原题，只要在一条定线上找一个动点，那只需作定点关于定线的一个对称点．变式1，要在两条定线找两个动点，则需要做作定点关于定线的两个对称点，即两次．变式2，要在两条定线找两个动点，则需要做作定点关于定线的对称点与定点关于定线的对称点，也是2个，即2次．3．作完对称点如何连接也需看作对称次数！原题，把对称点直接连接另一个定点，则连线与定线上的交点，即为动点．变式1，把两个对称点连接，与定线上的交点即为动点，分别与定点相连．变式2，把两个对称点连接，与定线上的交点即为动点，分别与定点相连．如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数．一次对称直连定，两次对称先相连．
