01几何最值问题概述
“将军饮马”问题，源于一则古老典故，指的是动点在直线上运动时，涉及线段和差的最值问题。此类问题常通过对称性进行等量代换，从而转化为两点间的距离、点到直线的距离，或利用三角形的不等式性质来求解最值。接下来，我们将一起回顾并梳理已学的线段最值相关的几何知识点。
▲基础知识回顾
“两点之间，线段最短”是几何学中的基本原理，描述了定点到定点的最短距离；
三角形的三边关系则阐述了任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边；
关于点到直线的距离，我们知道垂线段是最短的，即定点到定线的最短距离。
接下来，我们将深入探讨最短路径问题中的一类基础问题——“将军饮马”。这个问题不仅是最值问题的基础模型，而且为后续更复杂的问题如“胡不归问题”、“阿氏圆”等提供了基础。通过学习，我们将逐步掌握解决这类问题的关键方法和技巧。
▲“将军饮马”问题与其重要性
通过“将军饮马”问题，我们学习如何利用几何对称性来解决涉及动点在线上的最值问题。通过构造对称点，将问题转化为两点之间的距离问题，这成为解决更复杂问题的基础方法，也是我们学习过程中的重要一环。
02典型问题分类解析
▲两定一动型问题
在直线l上寻找一个动点P，使得PA+PB最小，是解决将军饮马问题的基本模型。目标是使动点P到两个固定点A和B的距离之和达到最小。
▲两动一定型问题
在∠MON的内部，我们有一个固定的点A。我们的任务是在OM上找到一个点B，同时在ON上找到一个点C，以使得由A、B、C三点构成的三角形△BAC的周长达到最小。
▲两定两动型问题(造桥选址)
已知A、B为两个固定点，现需在直线L上选取两个动点M和N，其中MN的长度固定为d。目的是使AM加上MN再加上NB的值达到最小。在直线L上移动M和N，调整其位置使得路径总长最短。
▲垂线段最短型问题
已知在∠NOM的内部存在一个点A，我们的任务是在OM上选取一点B，同时在ON上选取一点C，使得AB与BC之和达到最短。
03解题思路与策略
▲对称点与路径最短化
通过寻找对称点，将问题转化为直线上的最短距离问题。例如，通过作点A关于直径的对称点C，使得问题转化为寻找连接两点之间的最短路径。
▲常见题目的解决策略
在圆和矩形中的应用，例如，在圆中找到点的位置使路径最短，利用对称性和垂线段的性质，在矩形ABCD中，已知边长和动点的位置，求PC+PE的最短路径；
在梯形中的应用，如在已知的直角梯形ABCD中，AD与BC平行，AB垂直于BC，且AD=2，BC=DC=5。动点P在BC边上，目标是找到PA+PD的最小值；
抛物线相关问题，已知抛物线与x轴的交点以及经过点A(3,6)，求抛物线的解析式及顶点坐标，并在x轴上找到动点M，使MQ+MA取得最小值。
