北京那个医院治疗白癜风好 https://wapjbk.39.net/yiyuanfengcai/tsyl_bjzkbdfyy/dhhz96q/01将军饮马问题背景
每日学习,每日精进。在唐代诗人李颀的《古从军行》中,有这样一句诗:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。”这句诗不仅描绘了古代军人的生活场景,还引发了一系列极具趣味的数学问题,这些问题通常被称作“将军饮马”问题。
?问题的由来
这些数学问题源于对古代军人生活场景的描绘,尤其是将军和马匹如何在特定地形中寻找最短路径的趣题。
02将军饮马问题分析与解决
在给定的图形中,将军起始于点A,他需要带着马匹前往河边饮水,随后返回军营。我们的目标是找出一条路径,使得将军和马匹行走的总距离最短。
?问题简化
在图示的直线上寻找一个点P,以使得从点A到点P的距离与从点P到点B的距离之和最小化。
?问题分析
本题的核心在于寻找使得PA+PB之和最小的点P。这里的难点在于PA和PB构成了一段折线段,直接观察图形往往难以得出结果。为了解决这个问题,我们需要运用数学原理进行转化,将折线段转换为直线段,从而简化问题。
?问题解决
为了实现这一转化,我们可以作点A关于直线的对称点A’,并连接PA’。由于对称性质,我们知道PA’与PA的距离是相等的,因此,我们可以将PA+PB的问题转化为求解PA’+PB的问题。这样,我们就成功地将折线段转换为直线段,为问题的解决奠定了基础。当A’、P、B三点共线时,PA’与PB的和达到最小值,即A’B的长度,因为两点之间的线段总是最短的。
探索"一定两动"之"点点"
在OA和OB上选取点M和N,目标是使△PMN的周长最小。这里,M和N都是折点。通过分别作点P关于OA(折点M所在直线)和OB(折点N所在直线)的对称点,我们可以将折线段PM+MN+NP转化为P’M+MN+NP’’。当P’、M、N、P’’四点共线时,△PMN的周长将达到最小值。
?思路概述
通过对称性,将折线段转化为直线段,便于计算和分析,这在解决几何最短路径问题中尤为有效。
?典型例题
在∠AOB内部,任取一点P,其中∠AOB=30°,OP=8。在射线OA和射线OB上分别选取动点M和N。我们需要求出△PMN周长的最小值。当P、N、M、P四点共线时,△PMN的周长达到最小值,此时最小周长等于线段PP的长度。为了求解这个问题,我们可以连接OP和OP,这样△OPP构成一个等边三角形。根据等边三角形的性质,我们知道PP的长度等于OP和OP,而这两段长度又相等,且都等于8个单位。因此,△PMN周长的最小值为8。
01.将军饮马模型的其他变体
1.1?两定两动之点点
在OA、OB上分别选取点M、N,以使得四边形PMNQ的周长达到最小值。
由于PQ是条定线段,我们的目标就是使得PM+MN+NQ的值最小。我们可以将这个问题进行转化,类似于在直线OA和OB上分别找到点P和Q的对称点P’和Q’,这样,PM+MN+NQ的总和就转化为P’M+MN+NQ’。在几何学中,当且仅当P’、M、N、Q’四点共线时,这个总和才能达到最小值。因此,要使四边形PMNQ的周长最小,关键在于找到这样的共线配置。
1.2?一定两动之点线
在OA和OB上分别选取M和N,使得PM+MN的值最小。这实际上是在寻找一条特定路径上的最短距离,类似于在地图上找到两点之间的最短路径。在这个问题中,我们需要找到这样的M和N,使得PM与MN的和达到最小。
此处M点为折点,我们通过作点P关于OA对称的点P’,将折线段PM+MN转化为P’M+MN。具体来说,就是过点P’作OB的垂线,该垂线分别与OA、OB相交于点M、N,从而得到PM+MN的最小值。这是因为,在点到直线的所有连线中,垂线段是最短的。
05学习之道
2.1?探索将军饮马问题的变体
将军饮马问题是一个经典的数学模型,涉及多种变体和应用。它不仅丰富了数学问题的多样性,还能帮助我们以不同的视角理解和解决实际问题。
2.2?错题本的使用
在学习的道路上,我们常常会遇到各种难题和挑战。其中,如何有效利用错题本,成为了许多人